Eine Variable kann als nominal behandelt werden, wenn ihre Werte Kategorien darstellen, die sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen lassen, z.B. die Firmenabteilung, in der eine Person arbeitet. Beispiele für nominale Variablen sind Region, Postleitzahl oder Religionszugehörigkeit.
Contents
Was ist nominal und ordinal?
Metrische Variablen – Metrische Variablen weisen das höchstmögliche Skalenniveau auf. Beim metrischen Skalenniveau können die Merkmalsausprägungen verglichen und sortiert werden und es können Abstände zwischen den Ausprägungen berechnet werden. Beispiele wären hierfür das Gewicht und das Alter von Untersuchungspersonen.
Höchstes Skalenniveau Bildung von Rangfolgen möglich „gleich” und „ungleich”, „größer” und „kleiner” ebenfalls bestimmbar Differenzen und Summen können sinnvoll gebildet werden
| Einkommen |
|---|
| 1820 € |
| 3200 € |
| 800 € |
| . |
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Was ist nominal skaliert?
Merkmalsausprägungen können unterschiedliche Skalenniveaus haben: nominal, ordinal und metrisch skalierte Merkmale. Unter dem Begriff „nominal skalierte Merkmale’ werden die folgenden Aufzählungspunkte angezeigt: ‘niedrigstes Skalenniveau, ‘keine bestimmte Reihenfolge festgehalten’, ‘z.B. Haarfarbe, Geschlecht’.
Wann Nominalskaliert?
Nehmen wir einmal an, uns lägen von einer Untersuchung der Wassertiefe an einem Deich genau zwei Merkmalswerte vor: Die Wassertiefe (1,85 m) sowie die Haarfarbe der Person, welche die Messung vorgenommen hat (blond). Intuitiv wird uns klar sein, dass sich mit dem Wert für die Wassertiefe deutlich mehr anfangen lässt, als mit der Angabe der Haarfarbe.
So könnte man den Wert etwa mit dem einer vorherigen Messung vergleichen und berechnen, um wie viel Prozent der Wasserstand gefallen oder gestiegen ist. Kalkulieren könnte man auch die Differenz zur Höhe des Deichs und damit die Höhe, um die das Wasser noch steigen könnte, bevor eine kritische Marke erreicht wird.
Im Hinblick auf die Haarfarbe könnten wir dagegen lediglich einen Vergleich mit den Aufzeichnungen früherer Messungen anstellen und ermitteln, ob die Prüfer stets blond waren, oder ob auch andere Haarfarben vertreten sind. Der Informationsgehalt des Merkmals “Wassertiefe in m” ist offenbar deutlich größer als der Informationsgehalt des Merkmals “Haarfarbe”.
- Diese zentrale Eigenschaft von Merkmalen bzw.
- Variablen wird in der Statistik als deren Skalenniveau bezeichnet.
- Da die Durchführbarkeit einer Vielzahl von Analysen direkt oder indirekt davon abhängig ist, dass die vorhandenen Daten ein bestimmtes Skalenniveau erreichen, ist dessen fehlerfreie Bestimmung eine unerlässliche Voraussetzung für die Anwendung dieser Verfahren.
Für die Zwecke unserer Statistik-Blogserie hier im “Wissenschafts-Thurm” wird eine Unterscheidung in die nachfolgend dargestellten drei Skalenniveaus ausreichend sein. Anzeige Nominalskalenniveau Bei nominalskalierten Daten handelt es sich um Daten, die in keinerlei natürliche Reihenfolge gebracht werden können – beispielsweise um das Geschlecht, die Haarfarbe oder die Telefonnummer. Feststellbar ist hier lediglich, ob zwei statistische Einheiten im Hinblick auf ein nominalskaliertes Merkmal die gleichen Ausprägungen aufweisen – d.h.
- Ob etwa beide befragten Personen blond sind oder ob sie über unterschiedliche Haarfarben verfügen.
- Da es sich beim Nominalskalennivau um dasjenige Skalenniveau mit dem geringsten Informationsgehalt handelt, lassen sich mit nominalskalierten Daten nur wenige Berechnungen anstellen – so kommt etwa als Lagemaß nur der Modus in Frage, während sich Streuung, Schiefe oder Wölbung einer nominalskalierten Verteilung gar nicht bestimmen lassen.
Beispiele: Geschlecht, Kontonummer, Haarfarbe, Telefonnummer, Geschmacksrichtung Ordinalskalenniveau Im Gegensatz zu nominalskalierten Daten können ordinalskalierte Daten zwar in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden – da allerdings die Abstände zwischen den einzelnen Werten nicht quantifizierbar sind, kann mit ihnen nicht “normal gerechnet” werden, obwohl es sich auf den ersten Blick um “normale Zahlen” handelt.
Das klassische Beispiel hierfür sind Schulnoten. Schulnoten weisen sowohl eine natürliche Reihenfolge (eine 1 ist besser als eine 2, eine 2 ist besser als eine 3 usw.) als auch unterschiedliche Abstände zwischen den einzelnen Werten auf (der Notenbereich der 1 umfasst den Bereich von 92% bis 100% der maximal erreichbaren Punkte, der Notenbereich der 5 dagegen den Bereich von 0% bis 49%).
Aus diesem Grund sind Rechenoperationen wie etwa das Addieren oder das Subtrahieren von Noten nicht sinnvoll: Zwei “2er” ergeben keinen “4er” – und wenn man von einem “2er” einen “1er” abzieht, erhält man auch keinen “3er”. Wenn man aber Schulnoten nicht addieren (oder dividieren) kann, folgt daraus auch, dass man beispielsweise kein arithmetisches Mittel aus ihnen bilden darf – auch wenn das leider an sehr vielen Schulen konsequent falsch praktiziert wird (und damit Generationen von Schülerinnen und Schülern für die Statistik verdorben werden).
- Beispiele: Schulnoten, Präferenzrangfolgen, Zufriedenheit (z.B.
- Auf einer Skala von 1 bis 5), militärische Dienstränge Metrisches Skalenniveau Metrisch skalierte Daten verfügen über eine natürliche Reihenfolge sowie auch über quantifizierbare Abstände – mit ihnen kann also ganz “normal” gerechnet werden.
In vielen Lehrbüchern wird innerhalb der metrischen Skala – die häufig auch als Kardinalskala bezeichnet wird – zusätzlich noch in die Intervallskala (ohne natürlichen Nullpunkt – z.B. Temperatur in Celsius) und in die Verhältnisskala (mit natürlichem Nullpunkt – z.B. 
(Die Unterschiede zwischen diskreten und stetigen Daten sowie zwischen häufbaren und nicht häufbaren Merkmalen, werden wir dann übrigens in den nächsten Artikeln dieser Blogserie betrachten.) Auf- und Abwärtskompatibilität Für die im Rahmen unserer Blogserie betrachteten statistischen Verfahren gilt, dass sie im Hinblick auf das Skalenniveau – um an dieser Stelle einmal einen Begriff aus der Informatik zu bemühen – abwärtskompatibel, nicht aber aufwärtskompatibel sind.
Dies bedeutet: Verfahren, die ein niedrigeres Skalenniveau voraussetzen, können stets auch auf Daten eines höheren Skalenniveaus angewandt werden – Verfahren, die ein höheres Skalenniveau voraussetzen, dürfen dagegen nie auf Daten eines niedrigeren Skalenniveaus angewandt werden. Da beispielsweise die Bestimmung des Modus lediglich voraussetzt, dass mindestens nominalskalierte Daten vorliegen, kann der Modus (wenn die übrigen Voraussetzungen erfüllt sind) auch für ordinalskalierte und metrische Daten bestimmt werden.
Auf der anderen Seite kann etwa der Median, dessen Berechnung mindestens ordinalskalierte Daten voraussetzt, nicht für nominalskalierte Daten berechnet werden – die Berechnung für metrische Daten wäre dagegen problemlos möglich. Der „Cheat Sheet”: Übersicht der Mindestskalenniveaus An dieser Stelle greifen wir den in den nächsten Wochen noch folgenden Blogposts in einer kurzen Übersicht schon einmal ein wenig vor: Welches Skalenniveau muss mindestens erreicht werden, um eine Grafik erstellen oder eine Berechnung durchführen zu können? 1) Lagemaße / Maße der zentralen Tendenz Modus : Nominalskala Median : Ordinalskala Quartile : Ordinalskala Quantile : Ordinalskala Perzentile : Ordinalskala Arithmetisches Mittel : Kardinalskala Geometrisches Mittel: Kardinalskala Harmonisches Mittel: Kardinalskala 2) Streuungsmaße / Dispersionsparameter Fünf-Werte-Zusammenfassung: Ordinalskala Interquartilsabstand : Ordinalskala Spannweite : Kardinalskala Varianz : Kardinalskala Standardabweichung : Kardinalskala Variationskoeffizient : Kardinalskala 3) Verteilungsmaße / Schiefe und Wölbung Quartilskoeffizient der Schiefe : Ordinalskala Momentenkoeffizient der Schiefe : Kardinalskala Kurtosis / Exzeß : Kardinalskala 4) Grafische Darstellungsformen Venn-Diagramm: Nominalskala Stamm-Blatt-Diagramm : Ordinalskala (erweiterter) Box-Whisker-Plot : Ordinalskala 5) Zusammenhangsmaße Chi²-Test auf stochastische Unabhängigkeit : Nominalskala Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman : Ordinalskala Konkordanzkoeffizient nach Kendall : Ordinalskala Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient : Kardinalskala Die hier vorgestellten Inhalte und Aufgaben sind Teil der Vorlesung “Grundlagen der Statistik” im berufsbegleitenden Bachelor-Studiengang Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Harz,
Wie sieht eine Nominalskala aus?
Nominalskala einfach erklärt Liegen uns nominalskalierte Daten vor, können wir diese anhand von unterschiedlichen Merkmalen unterscheiden, jedoch keine Rangfolge bilden. Du kannst Personen beispielsweise anhand ihres Geschlechts (männlich/weiblich) oder anhand ihrer Haarfarbe (blond/brünett) unterscheiden.
Was versteht man unter nominal?
auf den Nennwert bezogen. Der Begriff wird verwendet, wenn eine wirtschaftliche Größe wie das Einkommen (Lohn, Gehalt, Volkseinkommen) oder der Zins ohne Berücksichtigung anderer Einflussfaktoren wie die Preisentwicklung bzw. Kaufkraft dargestellt werden soll.
Wann nominal und ordinal?
Beispiele für nominale Variablen sind Region, Postleitzahl oder Religionszugehörigkeit. Ordinal. Eine Variable kann als ordinal behandelt werden, wenn ihre Werte für Kategorien stehen, die eine natürliche Reihenfolge aufweisen (z.
Sind Altersgruppen nominal oder ordinal?
Beispiele Ordinalskala Altersgruppen: 0-20, 21-60, über 60.
Wann ist etwas ordinal?
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- Eine Ordinalskala sortiert Variablen mit Ausprägungen, zwischen denen eine Rangordnung besteht.
- Ordinalskalierte Variablen enthalten Nominal-Informationen und auch Informationen über die Reihung (Ordnung) der Variablenwerte.
- Beobachtungen auf einem Merkmal mit ordinalem Messniveau können hinsichtlich dieses Merkmals gruppiert und ihrer Größe nach geordnet werden.
Werden die Merkmalsausprägungen ( Kategorien ) mit (Rang-) Zahlen (Ordnungsziffern) bezeichnet, werden diese so gewählt, dass die Rangfolge der Zahlen der Rangfolge der Ausprägungen entspricht. Das heißt, eine Beobachtung bzw. ein Objekt mit einem höheren Rang besitzt auch eine höhere Ausprägung auf dem betrachteten Merkmal als eine Beobachtung mit einem niedrigeren Rang.
Welche Skalen gibt es Statistik?
Es gibt drei verschiedene Skalenniveaus: Die Nominal-, die Ordinal– und die Kardinalskala. Mit ihnen klassifiziert man den Aussagegehalt der betrachteten Daten, zum Beispiel den einer Studie. Das Skalenniveau ist also ein gewisses Maß für den Grad einer Merkmalsausprägung.
Wie nennt man eine Ja Nein Skala?
Nominalskala – Das Skalenniveau mit dem geringsten Informationsgehalt ist die Nominalskala. Sie folgt einer geschlossenen Frage ohne Reihenfolge der Antwortvorgaben und wird beispielsweise verwendet, um Gruppenzugehörigkeiten zu erfassen. Innerhalb der Antwortausprägungen einer Nominalskala kann also keine sinnvolle Reihenfolge gebildet werden. In Abhängigkeit der Anzahl der dargebotenen Antwortausprägungen kann eine Nominalskala weiter unterschieden werden. Ein erster Spezialfall ist die dichotome Skala, die dann vorliegt, wenn die Antworten lediglich zwei Stufen umfassen (z.B. „ja” und „nein”).
- In diesem Fall will die forschende Person erfassen, ob ein Merkmal vorhanden ist oder nicht, also z.B., ob eine Person raucht oder ein Auto besitzt.
- Liegt hingegen ein nominalskaliertes Item mit mehr als zwei Antwortausprägungen vor, so handelt es sich um eine polytome Antwortskala.
- Fragt man Personen nach dem Bundesland, in dem ihr Hauptwohnsitz liegt, ist genau eine Antwort zutreffend.
Zugleich kann auch aus diesen Antwortausprägungen, den 16 deutschen Bundesländern, keine sinnvolle Reihenfolge gebildet werden. Gleiches gilt z.B. auch für die Frage nach der Partei, die bei der letzten Bundestagswahl gewählt wurde. Häufig werden die ursprünglichen Ausprägungen einer Antwortskala verwendet, um sie in andere Werte zu überführen bzw. Häufig nimmt man aber bewusst einen Informationsverlust in Kauf, indem man Unterschiede in aggregierten Gruppen untersucht. Man könnte z.B. die nominalskalierte Variable der 16 Bundesländer als Ausgangspunkt verwenden, um mithilfe einer neuen Variable dichotom zwischen Befragten aus den alten und neuen Bundesländern zu unterscheiden.
Welches Skalenniveau hat Einkommen?
1.2 Die Ordinalskala – Die Ordinalskala wird wie auch die Nominalskala zur Beschreibung qualitativer Merkmale eingesetzt. Auch hier sind Häufigkeiten zählbar, allerdings existiert eine Rangfolge zwischen den Merkmalsausprägungen, Mann kann also eine Ordnung vornehmen.
Ganz typisch sind Zustimmung oder Ablehnung zu gewissen Sachverhalten (z.B. Aussagen zum Umweltschutz), die mit sog. Likert-Skalen abgefragt werden. Weiterhin sind der Bildungsgrad, Schulnoten oder willkürlich gebildete Einkommensklassen Beispiele für eine Ordinalskala. Achtung: Man kann aus ordinal skalierten Variablen auch einen Mittelwert bilden – sehr beliebt ist der Notendurchschnitt.
Man kann bei der Zustimmung zu einem Thema die Häufigkeiten der Nennungen erneut zählen. Gleichzeitig kann man diese Häufigkeiten aber auch in eine Reihenfolge bringen. Beispiel: 100 Probanden wurden gefragt, ob sie Müll trennen:
40 x stimme vollkommen zu 25 x stimme eher zu 10 x stimme weder noch zu 15 x stimmt nicht zu 10 x stimme eher überhaupt nicht zu
Welches Skalenniveau hat Fragebogen?
Die Ordinalskala – Bei der Ordinalskala kommt nun eine Rangordnung mit ins Spiel. Das bedeutet, dass sich die Variablen hinsichtlich ihrer Ausprägung bewerten lassen. Eine Variable kann also einen hohen, mittleren oder niedrigen Rang haben, je nachdem wie weit das Spektrum der Ordinalskala reicht.
- Ein einfaches Beispiel für eine Ordinalskala sind Schulnoten,
- Diese können die Ausprägungen 1,2,3,4,5 und 6 annehmen.
- Die 1 steht ganz oben in der Rangordnung und die 6 ganz unten.
- Ordinalskalierte Werte müssen dabei nicht zwingen Zahlenwerte annehmen.
- Schließlich könnten die Schulnoten auch als „sehr gut”, „gut”, „befriedigend”, „ausreichend”, „mangelhaft” und „ungenügend” ausgeprägt sein.
Auch bei diesem Skalenniveau machen rechnerische Operationen keinen Sinn. Das liegt daran, dass die Abstände bzw. Unterschiede zwischen den Rängen nicht immer gleich sein müssen. Der Sprung von „mangelhaft” auf „ungenügend” kann zum Beispiel deutlich schlechtere Folgen haben, nämlich das „Durchfallen”, als beim Unterschied zwischen einem „sehr gut” und einem „gut”.
- Ich weiß, für manche Personen war es in der Schule eine weitaus schlimmere Erfahrung, eine 2 statt einer 1 zu bekommen, als es eine 5 für andere Kandidaten war.
- Aber da verlassen wir schnell das Feld der Statistik Beim Design von Fragebögen wirst du besonders oft auf ordinalskalierte Daten treffen.
- Denn die allseits beliebte Likert-Skala besitzt ebendieses Skalenniveau.
Die Antwortmöglichkeiten „trifft gar nicht zu”, „trifft eher nicht zu”, „teils/teils”, „trifft eher zu” und „trifft voll zu” haben genau diese Eigenschaften: Sie lassen sich in einer Rangfolge anordnen, die Abstände zwischen ihnen sind jedoch nicht zwingend gleich groß. 
Wann Ordinalskala?
Immer wenn man die Merkmalswerte danach einteilen kann, ob ein Wert ‘besser’, ‘stärker’ oder ‘mehr’ als die anderen ist, liegt eine ordinal skalierte Variable vor. Aufgrund der Ordnung kann man neben dem Modus wie bei der Nominalskala auch den Median bestimmen.
Welches Skalenniveau hat das Alter?
Systematik der Skalen – Je nach der Art eines Merkmals bzw. je nachdem, welche Vorschriften bei seiner Messung eingehalten werden können, lassen sich verschiedene Stufen der Skalierbarkeit unterscheiden:
| Skalenniveau | logische / mathematische Operationen | Messbare Eigenschaften | Beispiel | Lageparameter |
|---|---|---|---|---|
| Nominalskala | =/≠ | Häufigkeit | Postleitzahlen, Geschlechter | Modus |
| Ordinalskala | =/≠ ; | Häufigkeit, Rangfolge | Schulnoten („sehr gut” bis „ungenügend”), Tabellenplatz in der Bundesliga | Median |
| Kardinalskala | ||||
| Intervallskala | =/≠ ; ; +/− (Merkmal + Merkmalsdifferenz) | Häufigkeit, Rangfolge, Abstand | Zeitskala (Datum), Intelligenzquotient, Temperatur (in Grad Celsius) | Arithmetisches Mittel |
| Verhältnisskala | =/≠ ; ; +/− ; ÷ (liefert einheitenlose Zahl) / x (Zahl x Merkmal) | Häufigkeit, Rangfolge, Abstand, natürlicher Nullpunkt | Alter (in Jahren), Umsatz (in Euro), Temperatur (in Kelvin) | Geometrisches Mittel |
Skalenniveaus im Vergleich; rot: Die auf dem jeweiligen Skalenniveau neu hinzugekommenen Eigenschaften. Nominal: nur Häufigkeiten, ordinal: Reihenfolge, intervall: Abstände, verhältnisskaliert: Nullpunkt Intervall- und Verhältnisskala werden zur Kardinalskala zusammengefasst.
- welche (mathematischen) Operationen mit einer entsprechend skalierten Variable zulässig sind. Dabei können Operationen, die bei Variablen eines bestimmten Skalenniveaus zulässig sind, grundsätzlich auch auf Variablen aller höheren Skalenniveaus durchgeführt werden. Ein auf einem bestimmten Niveau skalierbares Merkmal kann auf allen darunter liegenden Skalenniveaus dargestellt werden, jedoch nicht umgekehrt.
- welche Transformationen mit entsprechend skalierten Variablen durchgeführt werden können, ohne Information zu verlieren bzw. zu verändern.
- welche Information das entsprechende Merkmal liefert, welche Interpretationen Ausprägungen des entsprechenden Merkmals zulassen.
Das Skalenniveau gibt keine Auskunft darüber,
ob eine Variable diskret (kategorial) oder stetig ist (siehe Hauptartikel Merkmal ). Lediglich bei der Nominalskalierung ist das Merkmal grundsätzlich nicht stetig, sondern diskret.
„Obwohl Skalenniveau und Anzahl der möglichen Ausprägungen unabhängige Konzeptionen darstellen, sind in der Praxis nominal- und ordinalskalierte Merkmale meist diskret und metrisch skalierte Merkmale meist stetig.”
Was ist eine Skala Statistik?
Skala • Definition Ausführliche Definition im Online-Lexikon beschreibt in der Statistik die Art, wie eine eines oder einer erfasst wird. Eine Skala repräsentiert eine Vorschrift, die für das interessierende Merkmal jeder Beobachtung bei einer statistischen Einheit einer Stichprobe einen Beobachtungswert (ein Datum) zuordnet.
Dieser Wert ist dann die spezielle Ausprägung des Merkmals. Die Strukturierung der Skala bez. des Informationsgehalts bestimmt das, Die Festlegung einer Skala für ein Merkmal wird als Skalierung bezeichnet (). Mit Ihrer Auswahl die Relevanz der Werbung verbessern und dadurch dieses kostenfreie Angebot refinanzieren: Okay – kein Professional (z.B.
Student) : Skala • Definition
Was sagt der Nominalwert aus?
Nennwert einer Aktie: Definition – Der Nennwert – auch Nominalwert oder Nennbetrag genannt – ist der gesetzlich festgelegte Wert eines Zahlungsmittels wie Banknoten oder Münzen. Der Wert wird in Geldeinheiten, zum Beispiel Euro, auf den Geldschein aufgedruckt.
- Auch bei Geldanlagen wie Aktien gibt es einen Nennwert.
- Der Nennwert einer Aktie ist der Teilbetrag des Grundkapitals einer Aktiengesellschaft.
- Nach § 8 Absatz II des Aktiengesetzes, kurz AktG, muss der Mindestnennwert einer Aktie einen Euro betragen.
- Eine Aktie hat neben dem Nennwert auch einen Kurswert.
Während der Nennwert gleich bleibt, unterliegt der Kurswert Änderungen und Schwankungen. Denn er ist vom Preis abhängig, zu dem eine Aktien an der Börse gehandelt wird.
Was ist ein nominaler Wert?
Was ist der Nominalwert oder auch Nennwert? – Der Nominalwert oder auch Nennwert ist der festgelegte Betrag, der auf Geldscheinen, Münzen oder auch auf Aktien oder Anleihen aufgedruckt ist. Der materielle Wert ist dabei unerheblich – ein Schein kann einen Nominalwert von 10, 20 oder 200 Euro haben.
Was sind nominale Werte?
Der „Brüningtaler” : 4 Reichspfennig 1932 – Kursmünze mit kuriosem Nennwert Nennwert oder Nominalwert ( englisch par value ) ist in der Wirtschaft der in Geld ausgedrückte Wert (Zahlwert), der auf gesetzlichen Zahlungsmitteln ( Banknoten ) oder Wertpapieren ( Aktien, Anleihen ) aufgedruckt oder aufgeprägt ( Münzen ) ist.
Ist ja nein nominal?
Nominale Skalen – Nominale Skalen kommen dann zum Einsatz, wenn die Ausprägungen der Variable in Kategorien fallen, die sich gegenseitig ausschließen und die keine Ordnung aufweisen. Beispiele sind das Geschlecht und Fragen, die mit Ja und Nein zu beantworten sind.
Was bedeutet metrisch Statistik?
Metrisch – Statista Definition Als metrische Werte werden Werte bezeichnet, die sind. Für diese gilt, dass der Abstand zwischen allen einfachen, ganzzahligen Werten immer gleich groß ist – zwischen 2 und 3 ist also genauso viel Abstand wie zwischen 87 und 88.
- Bitte beachten Sie, dass es sich bei den einzelnen Definitionen in unserem Statistik-Lexikon um vereinfachte Erläuterungen handelt.
- Hierbei ist es das Ziel, die einzelnen Begriffe einer möglichst breiten Nutzergruppe näher zu bringen.
- Insofern besteht die Möglichkeit, dass einzelne Definitionen wissenschaftlichen Standards nicht zur Gänze entsprechen.
: Metrisch – Statista Definition
Wann ist etwas ordinal?
Ordinal. Eine Variable kann als ordinal behandelt werden, wenn ihre Werte für Kategorien stehen, die eine natürliche Reihenfolge aufweisen (z.B. Grad der Zufriedenheit mit Kategorien von sehr unzufrieden bis sehr zufrieden).
Was bedeutet ordinal auf Deutsch?
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Zur Navigation springen Zur Suche springen Ordinal ( lat. ordo „Reihenfolge”, „Reihe”, „Ordnung”) steht für:
einen Aspekt der Zahlen, siehe Ordinalzahl ein Zahlwort der Reihenfolge, siehe Zahlwort hochgestellte Buchstaben, welche Ordinalzahlen kennzeichnen, siehe Ordinalzeichen eine grundlegende Klasse physikalischer und mathematischer Skalierung, siehe Ordinalskala
Dies ist eine Begriffsklärungsseite zur Unterscheidung mehrerer mit demselben Wort bezeichneter Begriffe. Abgerufen von „ https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordinal&oldid=116608864 ” Kategorie :
Begriffsklärung
Was ist Ordinales Merkmal?
Beispiele – Bei der Ordinalskala geht es nur darum, eine Reihenfolge oder Rangfolge festzustellen. Bei einem Autorennen kann ein erster, zweiter und dritter Platz vergeben werden. Dabei spielt es keine Rolle, ob der Erstplatzierte eine Stunde oder eine Minute schneller war als der Zweite. Weitere Beispiele bei denen direkt Ränge vergeben werden:
- Rangfolge der Läufer beim 100-Meter Lauf
- Reihenfolge meiner 3 Lieblings-Burgerketten
- Rankings (z.B. Hochschulrankings),
Nachfolgende Tabelle enthält Beispiele für ordinalskalierte mit kategorialen Merkmalen, hierbei werden zwar keine direkten Ränge vergeben, jedoch liegt den Ausprägungen dennoch eine Rangfolge zugrunde.
| Merkmal | Kategorien |
|---|---|
| Dekubitusrisiko | geringes bis hohes Risiko nach der Norton-Skala |
| Zufriedenheit mit einem Produkt | sehr zufrieden > eher zufrieden > eher unzufrieden > sehr unzufrieden |
| Selbsteinstufung des Einkommens 1 | hoch > mittel > niedrig |
| Schulische Leistung 2 | sehr gut > gut > befriedigend > ausreichend > mangelhaft > ungenügend |
| Dienstrang beim Militär | General > Major > Leutnant > Feldwebel > Unteroffizier > Gefreiter |
1 Wird das Einkommen in Klassen eingeteilt (z.B.0 bis 999 Euro, 1000 bis 2000 Euro, über 2000 Euro), handelt es sich um ein ordinal skaliertes Merkmal. Wird dagegen der genaue Betrag erhoben und statistisch verarbeitet, liegt ein metrisches Merkmal vor.
Da die Auskunftsbereitschaft bei der Angabe des genauen Einkommens geringer ist, wird in vielen Umfragen auf eine Abfrage der Einkommensklassen zurückgegriffen.2 Schulnoten werden oft so verwendet, als wären sie metrisch skaliert, indem z.B. der Durchschnitt berechnet wird. Problematisch wird es, wenn eine solche Verwendung ernste Konsequenzen hat, z.B.
bei der Beurteilung verschiedener Unterrichtsmethoden. Ein weiteres Beispiel für die Konsequenzen der Beschränkung auf das ordinale Messniveau findet sich unter Arrow-Theorem,
Was ist ordinal und Kardinal?
Kardinalzahlen sind Mengen, die als Repräsentanten von Mengen einer bestimmten Größe dienen. Entsprechend ist eine Ordinalzahl eine Menge, die den Ordnungstyp einer wohlgeordneten Menge repräsentiert. Eine Menge M heißt Ordinalzahl oder Ordnungszahl genau dann, wenn sie transitiv ist und durch die Elementrelation wohlgeordnet wird, d.h. genau dann, wenn jedes Element von M auch Teilmenge von M ist und jede Teilmenge von M ein e-kleinstes Element hat. Jede Wohlordnung ist dann zu genau einer Ordinalzahl isomorph, und man nennt diese Ordinalzahl den Ordnungstyp der Wohlordnung. Die Klasse der Ordinalzahlen wird mit ON bezeichnet. ON wird auch Ordinalzahlreihe genannt. ON ist eine echte Klasse. Die Annahme, daß ON eine Menge ist, führt zur Antinomie von BuraliForti ( Burali-Forti, Antinomie von ). ON ist durch e wohlgeordnet. Hier und im folgenden wird gelegentlich über Eigenschaften echter Klassen gesprochen, und es werden Abbildungen und Relationen auf echten Klassen betrachtet. Zur formalen Interpretation solcher Sachverhalte siehe Axiomatische Mengenlehre, Wir werden im folgenden bei Vergleichen von Ordinalzahlen auch α < β anstatt α ∈ β schreiben. Man definiert die Nachfolgeoperation \(\mathbf : \mathbf \rightarrow \mathbf, \alpha \mapsto \alpha \cup \,\) α heißt Nachfolgeordinalzahl genau dann, wenn es eine Ordinalzahl β mit α = N(ß) gibt. Eine Ordinalzahl, die von der leeren Menge verschieden und keine Nachfolgeordinalzahl ist, heißt Limesordinalzahl. Die leere Menge wird auch als Null bezeichnet: 0 ≔ ø. Mit Hilfe von N lassen sich nun die natürlichen Zahlen definieren: 1 ≔ N (0), 2 ≔ N (l) usw. Die Menge der natürlichen Zahlen ω oder ℕ 0 ist definiert als die kleinste Limesordinalzahl. Das Symbol ℕ bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null: ℕ ≔ ℕ 0 \, Diese Bezeichnungsweise ist jedoch in der Literatur nicht einheitlich. Ordinalzahlen α mit α < ω heißen endliche oder finite Ordinalzahlen; Ordinalzahlen α mit α ≥ ω heißen unendliche oder transfinite Ordinalzahlen. Man nennt ℕ 0 nach obiger Definition auch die Menge der natürlichen Zahlen im von Neumannschen Sinn. Im Gegensatz dazu definiert Zermelo 0 Z ≔ oslash;, 1 Z ≔, 2 Z ≔ usw. Daher nennt man ℕ 0, Z ≔ die Menge der natürlichen Zahlen im Zermeloschen Sinn. Eine konstruktionsunabhängige Charakterisierung der natürlichen Zahlen wird mit Hilfe des Peano-Axiomensystems erreicht. Das Peano-Axiomensystem für eine Menge \( }\) und eine Abbildung \( }: }\to }\) (man nennt \( (n)}\) auch den Nachfolger von n ) lautet:
\(\emptyset \in }\) \(\emptyset \in }( })\) d.h., ø ist nicht Nachfolger einer Zahl aus \( }\). \(\mathop \limits_ }}m\ne n\Rightarrow \mathcal (m)\ne \mathcal (n)\)d.h., verschie-dene Zahlen haben verschiedene Nachfolger. \(\mathop \limits_ }}\left(\emptyset \in N\wedge \mathop \limits_ \mathcal (n)\in N\right)\Rightarrow N= }\) d.h., enthält eine Teilmenge von \( }\)die leere Menge und mit jeder Zahl ihren Nachfolger, so handelt es sich bei N bereits um die ganze Menge \( }\).
Es ist üblich, das Peano-Axiomensystem in der obigen Form anzugeben, obwohl man eigentlich auf Axiom (2) verzichten könnte, da es aus den Axiomen (3) und (4) folgt. Das Peano-Axiomensystem charakterisiert die natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie. Im Fall \( }=\omega \,\text \, }(n)= (n).\) Das vierte Peano-Axiom bildet die Grundlage für das Beweisprinzip der vollständigen Induktion: Um zu beweisen, daß eine Aussage ϕ ( n ) für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ 0 gilt, genügt es zu zeigen, daß ϕ (0), d.h., ϕ (0) gilt (Induktionsanfang oder Induktionsverankerung), und daß aus der Gültigkeit von ϕ ( n ) (der Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung) die Gültigkeit von \(\phi ( }(n))\) folgt. Häufig wird das Beweisprinzip der vollständigen Induktion auch in einer äquivalenten Variante benutzt, bei der als Induktionsvoraussetzung die Gültigkeit von ϕ ( m ) für alle natürlichen Zahlen m ≤ n angenommen wird. Ähnlich lassen sich auch Abbildungen f mit den natürlichen Zahlen als Definitionsbereich durch vollständige Induktion definieren, indem f (0) und f ( n ) ≔ G ( ) definiert werden. Dabei ist \( : \to \)eine Abbildung auf der Klasse aller Mengen V. Man spricht hierbei auch von einer Definition durch Rekursion. Ein Beispiel ist die Definition der Fakultätsfunktion f : ℕ 0 → ℕ, f ( n ) = n ! : Zunächst ist die Abbildung \( : \to,\, M\mapsto (M)\)anzugeben. Handelt es sich bei der Menge M um ein n -Tupel von geordneten Paaren natürlicher Zahlen, d.h., für ein n ∈ ℕ gilt M : n → ℕ 0 × ℕ 0, so sei ( a, b ) ≔ M ( n − 1) und G ( M ) ≔ ( a + 1).b, Für alle anderen Mengen M sei G ( M ) ≔ 0. Nun kann man definieren 0! ≔ 1, n ! ≔ G ( ) = n, f ( n − 1) für n ∈ ℕ. Oftmals schreibt man auch vereinfachend nur 0! ≔ 1, n ! ≔ n, ( n − 1)! und verzichtet auf die explizite Angabe der Abbildung G, Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion läßt sich auf die gesamte Ordinalzahlklasse verallgemeinern. Man spricht dann vom Beweisprinzip der transfiniten Induktion. Die Grundlage dafür liefert der folgende Satz der transfiniten Induktion: Ist K eine nichtleere Klasse von Ordinalzahlen, d.h. \(\emptyset \ne \subseteq \), so hat K ein kleinstes Element. Um zu beweisen, daß eine Aussage ϕ ( β ) für alle Ordinalzahlen β gilt, zeigt man, daß aus der Gültigkeit von ϕ ( α ) für alle Ordinalzahlen α < β die Gültigkeit von ϕ ( β ) folgt. Gäbe es dann eine Ordinalzahl γ, für die ϕ ( γ ) nicht gilt, so gäbe es auch eine kleinste, im Widerspruch zum zuvor Bewiesenen. Auch die Definition durch Rekursion läßt sich auf ganz ON verallgemeinern. Man verwendet dann synonym die Bezeichnungen Definition durch transfinite Induktion und Definition durch transfinite Rekursion. Man macht sich dabei den folgenden Satz der transfiniten Rekursion zunutze: Zu jeder Abbildung \( : \to \) gibt es genau eine Abbildung \( : \to \) so, daß für jede Ordinalzahl α gilt : \( (\alpha )= ( |\alpha ).\) Zum Verständnis des Satzes beachte man, daß \( |\alpha \) als Einschränkung von G auf die Menge α eine Menge ist, nämlich, Daher ist der Ausdruck \( ( |\alpha )\)sinnvoll. Man beachte die Analogie zur Definition durch vollständige Induktion: Wieder wird der Wert an der Stelle α in Abhängigkeit der bereits definierten Werte für β < α definiert. Arithmetik der Ordinalzahlen. Die Addition von Ordinalzahlen läßt sich durch transfinite Rekursion über die Ordinalzahl β definieren: Sei α ∈ ON fixiert. Man definiert α +0 ≔ α, α + N ( β ) ≔ N ( α + β ) für Nachfolgeordinalzahlen N ( β ) und α + β ≔ sup für Limesordinalzahlen β, Es ist üblich, transfinite Rekursionen in dieser Form anzugeben. Am Beispiel der Addition von Ordinalzahlen soll erklärt werden, wie sich eine solche Definition in den formalen Rahmen einbettet. Wieder sei α ∈ ON fixiert. Man definiert zunächst β − 1 ≔ γ, falls β = N ( γ ) eine Nachfolgeordinalzahl ist. Um den Satz der transfiniten Induktion anwenden zu können, definiert man \( _ : \to,\, M\mapsto _ (M),\), wie folgt: Handelt es sich bei der Menge M : β → ON um eine Abbildung, deren Definitionsbereich aus der Ordinalzahl β besteht, so sei Fa ( M ) ≔ α für β = 0, F α ( M ) ≔ N ( M ( β − 1)), falls β eine Nachfolgeordinalzahl ist und F α ( M ) ≔ ∪ γ <β M ( γ ), falls ß eine Limesordinalzahl ist. Für alle anderen Mengen M sei F α ( M ) := o. Der Satz der transfiniten Rekursion liefert dann genau eine Abbildung \( _ : \to \), so daß für jede Ordinalzahl ß gilt \( _ (\beta )= _ ( _ |\beta )\) Schließlich kann man definieren \(\alpha +\beta := _ (\beta )\) Ähnlich lassen sich die Multiplikation von Ordinalzahlen und die Potenzierung von Ordinalzahlen durch transfinite Rekursion über die Ordinalzahl β definieren: Wieder sei α ∈ ON fixiert. Man definiert α · 0 ≔ 0, α · N ( β ) ≔ a · β + α für Nachfolgeordinalzahlen N (β) und α · β ≔ sup für Limesordinalzahlen β sowie Ord( α 0 ) ≔1, Ord( α N ( β ) ) ≔ Ord( α β ) · α für Nachfolgeordinalzahlen N ( β ) und Ord( α β ) ≔ sup für Limesordinalzahlen β Rechenregeln für Ordinalzahlen: Für α, β, γ ∈ ON gilt: \begin \begin \alpha +(\beta +\gamma & = &(\alpha +\beta )+\gamma, \\ \alpha +0 & = &\alpha, \\ \alpha +1 & = & (\alpha ),\\ \alpha + (\beta ) & = & (\alpha \beta ),\\ \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma ) & = &(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma, \\ \alpha \cdot 0 & = &0,\\ \alpha \cdot 1 & = &\alpha, \\ \alpha \cdot (\beta ) & = &\alpha \cdot \beta +\alpha, \\ \alpha \cdot (\beta +\gamma ) & = &\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma, \\ Ord( ^ & = &1,\\ Ord( ^ ) & = &Ord( ^ )\cdot \alpha \end \end Weder die Addition noch die Multiplikation von Ordinalzahlen ist kommutativ, z.B. hat man 1 + ω = ω ≠ ω + 1 sowie 2 · ω = ω ≠ ω + ω = ω · 2. Im Gegensatz zum linksseitigen Distributivgesetz gilt das rechtsseitige Distributivgesetz nicht, z.B. ist (1 + 1) · ω = ω ≠ 1 · ω + 1 · ω, Die Größe von Mengen vergleicht man mit Hilfe injektiver Abbildungen. Sind zwei Mengen A, B gegeben, so schreibt man \(A\precsim B\) genau dann, wenn es eine injektive Abbildung i : A → B gibt, und A ≈ B genau dann, wenn die Abbildung i sogar bijektiv ist. Gilt A ≈ B, so sagt man, die Mengen A und B sind gleichmächtig. Die Relation „\(\precsim \)"ist transitiv; bei„ ≈ " handelt es sich um eine Äquivalenzrelation. Es gilt der Satz von Schröder-Bernstein: Aus \(A\precsim B\) und \(B\precsim A\) folgt A ≈ B. Läßt sich die Menge A wohlordnen, so definiert man ihre Kardinalität oder Mächtigkeit als die kleinste Ordinalzahl α mit α ≈ A, Die Kardinalität von A wird mit # A oder \(|A|\)bezeichnet. Im allgemeinen benötigt man das Auswahlaxiom, um eine Menge wohlzuordnen, und damit auch, um ihre Kardinalität zu definieren. Setzt man das Auswahlaxiom voraus, so wird mit Hilfe der Kardinalität jeder Äquivalenzklasse von „ ≈ " genau ein Repräsentant zugeordnet. Für Ordinalzahlen ist die Kardinalität auch ohne Voraussetzung des Auswahlaxioms immer definiert. Eine Ordinalzahl α heißt Kardinalzahl genau dann, wenn sie mit ihrer Kardinalität übereinstimmt: α = # α, Die (echte) Klasse der Kardinalzahlen wird mit \( \) bezeichnet. Während sich beliebige Mengen ohne das Auswahlaxiom nicht bezüglich ihrer Größe vergleichen lassen, ist die Vergleichbarkeit von Kardinalzahlen immer gegeben, da \( \) als Teilklasse von ON sogar wohlgeordnet ist. Für jede Kardinalzahl κ nennt man die Menge \( _ \)anstatt \( _ \) geschrieben. Daher spricht man bei der Zuordnung \(\alpha \mapsto _ = _ \)auch von der Aleph-Funktion. Man beachte, daß es sich hierbei formal um eine echte Klasse handelt. Jede endliche Ordinalzahl n ∈ ω ist eine Kardinalzahl; man spicht von endlichen, finiten oder natürlichen Kardinalzahlen. Kardinalzahlen, die nicht endlich sind, heißen unendliche oder transfinite Kardinalzahlen. Auch bei der Menge ω handelt es sich um eine Kardinalzahl. Eine Menge A heißt endlich genau dann, wenn ihre Kardinalität endlich ist, und andernfalls unendlich. Im Fall # A ≤ ω heißt A abzählbar und andernfalls überabzählbar. Ist κ eine Kardinalzahl, so bezeichnet man mit κ + die kleinste Kardinalzahl, die größer als κ ist. Eine Kardinalzahl λ heißt Nachfolgekardinalzahl genau dann, wenn es eine Kardinalzahl κ mit λ = κ + gibt, andernfalls heißt λ Limeskardinalzahl. Arithmetik der Kardinalzahlen. Durch transfinite Rekursion bezüglich der Ordinalzahl α definiert man die Kardinalzahlen Ω α :
ω 0 ≔ ω, ω α +1 ≔ ( ω α ) +, ω α ≔ sup für Limesordinalzahlen α
Besonders in der älteren Literatur wird auch \(\aleph_ \)anstatt \(\omega_ \) geschrieben. Daher spricht man bei der Zuordnung \(\alpha \mapsto \omega_ = \aleph_ \)auch von der Aleph- Funktion. Man beachte, daß es sich hierbei formal um eine echte Klasse handelt. Bei allen ω α handelt es sich um Kardinalzahlen, und umgekehrt ist jede unendliche Kardinalzahl mit einem geeigneten ω α identisch. Die Aleph-Funktion ist streng isoton, d.h., α < β impliziert ω α < ω β · ω α ist genau dann eine Limeskardinalzahl, wenn α eine Limesordinalzahl ist, und ω α ist genau dann eine Nachfolgekardinalzahl, wenn α eine Nachfolgeordinalzahl ist. Jede unendliche Kardinalzahl ist eine Limesordinalzahl. Addition, Multiplikation und Potenzierung von Kardinalzahlen: Für Kardinalzahlen κ, λ definiert man \(\kappa \oplus \lambda :=\# (\kappa \times \ \mathop \limits^ }\limits^ \times 1),\kappa \otimes \lambda :=\# (\kappa \times \lambda ), _ := (\lambda,\kappa ),\) d.h., κ λ ist die Kardinalität der Menge der Abbildungen von λ nach κ, Wie schon durch die unterschiedliche Symbolik angedeutet, sind die Addition, Multiplikation und Potenzierung von Kardinalzahlen von den entsprechenden Verknüpfungen der Ordinalzahlen sauber zu unterscheiden. Beispielsweise sind die Addition und Multiplikation von Kardinalzahlen im Gegensatz zur Addition und Multiplikation von Ordinalzahlen kommutativ. Rechenregeln für Kardinalzahlen: Für m, n ∈ ω gilt: m ⊕ n = m + n < ω, m ⊗ n = m · n < ω, Für unendliche Kardinalzahlen κ, λ gilt: κ ⊕ λ = κ ⊗ λ = max, Ist κ eine unendliche Kardinalzahl, so ist die Kardinalität einer Vereinigung von höchstens κ vielen Mengen, die alle höchstens die Kardinalität κ haben, höchstens κ, Zum Beweis dieser Aussage benötigt man das Auswahlaxiom. Es läßt sich z.B. zeigen, daß es mit ZF konsistent ist, daß ω 1 und auch \( }(\omega )\) abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind. Der Satz von Cantor besagt, daß jede Menge kleiner ist als ihre Potenzmenge: Es gibt keine surjektive Abbildung von einer Menge M auf ihre Potenzmenge \( }(M)\). Bei Verwendung des Auswahlaxioms folgt aus dem Satz von Cantor, daß für jede Menge M gilt \(\# M\text,\lt\,\# }(M)\) und insbesondere κ < 2 κ für jede Kardinalzahl κ, Die bekannten Potenzgesetze für natürliche Zahlen gelten für beliebige Kardinalzahlen κ, λ, σ : \begin ^ = ^ \otimes ^, ^ )}^ = ^,\end Sind κ und λ Kardinalzahlen, ist λ unendlich und 2 ≤ κ ≤ λ, so gilt κ λ = 2 λ, Die der Aleph-Funktion verwandte Beth-Funktion wird durch transfinite Rekursion bezüglich der Ordinalzahl α definiert durch
\((1) _ :=\omega,\)\((2) _ := ^ _ },\) \((3) _ :=\sup \ _ :\gamma \lt \alpha \}\) für Limesordinalzahlen α,
\( _ = ^ \) ist die Kardinalität der reellen Zahlen und wird auch als die Kardinalität des Kontinuums bezeichnet. Die Aussage „2 ω = ω 1 ” wird als Kontinuumshypothese oder CH bezeichnet; die Aussage „\( _ = _ \) für alle Ordinalzahlen α ” wird als verallgemeinerte Kontinuumshypothese oder GCH bezeichnet.
R (0) := 0,\(R(\alpha +1):= }(R(\alpha )),\) \(R(\alpha ):=\displaystyle _ R(\gamma )\,\) für Limesordinalzahlen α,
Für \(\alpha,\beta \in\) ON folgt dann aus α < β, daß \(R(\alpha )\subsetneq R(\beta ).\) Weiterhin gilt für jede Ordinalzahl α, daß \(\text R(\omega +\alpha )= _ \text \,R(\alpha )= _ \, }(R(\beta )).\). Eine Abbildung zwischen zwei Ordinalzahlen f : α → β heißt kofinal genau dann, wenn es zu jedem b ∈ β ein a ∈ α mit b ≤ f ( a ) gibt. Die Kofinalität einer Ordinalzahl β ist die kleinste Ordinalzahl α, so daß es eine kofinale Abbildung f : α → β gibt. Man bezeichnet α dann mit cf ( β ). Es gelten folgende Regeln für Kofinalitäten von Ordinalzahlen α : cf ( α ) ≤ α, cf ( α ) = 1, falls α eine Nachfolgeordinalzahl ist, cf (cf( α )) = cf ( α ), cf( ω α ) = cf ( α ), falls α eine Limesordinalzahl ist. Es gilt der Satz von König: Sind κ, λ Kardinalzahlen, ist κ unendlich und cf ( κ ) ≤ λ, so gilt κ λ > κ, Als Folgerung hat man cf (2 κ ) > κ für unendliche Kardinalzahlen κ, Sind κ, λ ≥ 2 Kardinalzahlen, ist mindestens eine von beiden unendlich, und setzt man die verallgemeinerte Kontinuumshypothese voraus, so gelten \begin \begin \kappa \le \lambda & \Rightarrow & ^ & = & ^,\\ \kappa \gt \lambda \ge \text \kappa \text & \Rightarrow & ^ & = & ^,\\ \lambda \lt \text \kappa \text & \Rightarrow & ^ & = & \kappa.\end \end Eine Ordinalzahl α wird regulär genannt, wenn sie eine Limesordinalzahl ist und cf( α ) = α erfüllt. Ansonsten heißt sie singulär. Eine Kardinalzahl heißt regulär, wenn sie eine reguläre Ordinalzahl ist, und sonst singulär. Es zeigt sich, daß ω und alle unendlichen Nachfolgekardinalzahlen regulär sind. Eine reguläre Limeskardinalzahl heißt schwach unerreichbar. Gilt für eine Kardinalzahl λ, daß für jede kleinere Kardinalzahl κ < λ auch 2 κ < λ gilt, so wird λ eine starke Limeskardinalzahl genannt. Ist eine starke Limeskardinalzahl zusätzlich regulär, so heißt sie stark unerreichbar. Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind damit auch schwach unerreichbar, und unter GCH sind die Begriffe identisch. Nach dieser Definition ist ω stark unerreichbar. Manchmal wird in der Literatur bei der Definition von schwach und stark unerreichbar auch explizit verlangt, daß die Zahlen von ω verschieden sein müssen. Es ist mit ZFC konsistent, daß ω die einzige schwach unerreichbare Kardinalzahl ist. Ist ZFC konsistent, so läßt sich die Konsistenz von ZFC mit der Existenz von ω verschiedener, schwach unerreichbarer Kardinalzahlen in ZFC nicht beweisen. Man kann jedoch zeigen, daß jedes der folgenden Axiomensysteme (i)-(iv) genau dann konsistent ist, wenn die anderen drei konsistent sind. ZFC + GCH + es gibt eine stark unerreichbare Kardinalzahl κ > ω,ZFC + es gibt eine schwach unerreichbare Kardinalzahl κ > ω,ZFC + 2 ω ist schwach unerreichbar.ZFC + es gibt eine schwach unerreichbare Kardinalzahl 2 ω > κ > ω, Man nennt eine auf der Potenzmenge einer Menge M definierte Abbildung \(\mu : }(M)\to N,\) wobei N = 2 = oder N = I :=, κ -additiv für eine Kardinalzahl κ genau dann, wenn für jede disjunkte Familie ( A α ) α<κ von Teilmengen von M gilt, daß \(\mu ( \limits^ }_ _ )=\displaystyle _ \mu ( _ )\cdot \mu \) heißt ein λ - N -Maß auf M genau dann, wenn μ für alle κ < λ κ -additiv ist, μ ( M ) = 1 und μ ( ) = 0 für alle x ∈ M erfüllt. Sind κ und λ Kardinalzahlen, so nennt man λ κ -2-meßbar (bzw. κ - I -meßbar) genau dann, wenn es ein κ -2-Maß (bzw. ein κ - I -Maß) auf λ gibt. Bezeichnet man mit M I bzw. M 2 die kleinste ω 1 - I -meßbare bzw. ω 1 -2-meßbare Kardinalzahl, so sind M I, M 2 > ω, M I ist schwach unerreichbar, und M 2 ist stark unerreichbar. Es gilt entweder M I ≤ 2 ω oder M 2 = M I, Ist eine Kardinalzahl λ λ – I -meßbar, so ist sie schwach unerreichbar, ist sie sogar λ -2-meßbar, so ist sie stark unerreichbar. Man nennt eine Kardinalzahl λ meßbar genau dann, wenn sie λ -2-meßbar ist. Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017